切平面方程怎么求？
在几何分析中，切平面是指通过曲面一点，且与曲面在该点处相切的平面。求解切平面方程至关重要，因为它提供了曲面局部特性的信息。
切平面方程求法
设函数 z = f(x, y) 定义了一个曲面，已知曲面上的点 (x0, y0, z0)。切平面的法向量为曲面的梯度向量，即：
```
∇f(x0, y0) = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
```
切平面的方程可以表示为：
```
z - z0 = (∂f/∂x)(x - x0) + (∂f/∂y)(y - y0)
```
推导过程
考虑曲面上的点 (x, y, z)，并将其与已知点 (x0, y0, z0) 连接起来。向量
```
→v = (x - x0, y - y0, z - z0)
```
指向 (x, y, z) 点。
切平面的法向量与 →v 正交，因此法向量与 →v 的点积为 0：
```
→v · ∇f(x0, y0) = (x - x0)(∂f/∂x) + (y - y0)(∂f/∂y) = 0
```
整理方程，得到切平面的方程：
```
z - z0 = (∂f/∂x)(x - x0) + (∂f/∂y)(y - y0)
```
拓展：曲面的曲率和法线曲率
除了切平面方程之外，曲率和法线曲率是曲面几何的重要概念。
曲率 衡量曲面在给定点处的弯曲程度。对于一个由参数方程定义的曲面，曲率为：
```
κ = ||T' × N|| / ||T||^3
```
其中 T 和 N 分别是曲面上的切向量和法向量，' 表示对参数的导数。
法线曲率 衡量曲面在给定点处的弯曲程度，沿法向量方向。对于一个有参数方程的曲面，法线曲率为：
```
κn = T' · N / ||N||^3
```
曲率和法线曲率在曲面设计、微分几何和物理学等领域有广泛的应用。
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