等比级数求和公式
等比级数求和公式用于计算等比级数的和。等比级数是一种特殊的数列，其中每个项与前一项的比值是常数。等比级数求和公式为：
```
S = a (1 - r^n) / (1 - r)
```
其中：
S 是等比级数的和
a 是第一项
r 是公比
n 是项数
实操应用
等比级数求和公式在现实生活中有着广泛的应用，例如：
计算银行存款的利息复利
计算投资的收益率
分析人口增长和衰减
预测疾病的传播
公式推导
等比级数求和公式可以通过数学归纳法推导出来。以下是一步一步的推导过程：
基本情况： 当 n = 1 时，等比级数为 a，所以公式显然成立。
归纳假设： 假设对于某个自然数 k，等比级数求和公式成立。
归纳步骤： 对于 n = k + 1，等比级数的和为：
```
S = a + ar + ar^2 + ... + ar^k + ar^(k+1)
```
将等比级数求和公式应用于前 k 项，得到：
```
S - ar^(k+1) = a (1 - r^k) / (1 - r)
```
整理上式，得到：
```
S = a (1 - r^(k+1)) / (1 - r)
```
根据归纳假设，1 - r^k = (1 - r) (1 + r + ... + r^k)，所以：
```
S = a (1 - r^(k+1)) / (1 - r) = a (1 - r) / (1 - r) = a
```
因此，等比级数求和公式对于 n = k + 1 也成立。
根据数学归纳法，等比级数求和公式对于所有自然数 n 都成立。
拓展：几何级数
等比级数和几何级数密切相关。几何级数是一种特殊的等比级数，其中公比为常数且小于 1。几何级数的求和公式为：
```
S = a / (1 - r)
```
其中，a 是第一项，r 是公比。
几何级数在统计学、概率论和金融数学等领域有着重要的应用。
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