引言：
概率论中，切比雪夫不等式和三西格玛规则是两个非常重要的极限，它们提供了一种简洁的方法来估计随机变量概率分布的尾部行为。
切比雪夫不等式：
定义： 对于随机变量 X，当其期望值为 μ、方差为 σ² 时，对于任意正实数 k，有：
P(|X - μ| ≥ kσ) ≤ 1/k²
含义： 对于随机变量 X，其与期望值之间的距离不会超过其标准差的 k 倍，其发生的概率小于或等于 1/k²。
三西格玛规则：
定义： 对于服从正态分布的随机变量 X，其期望值为 μ、标准差为 σ，有：
P(|X - μ| ≤ 3σ) ≈ 0.997
P(|X - μ| ≤ 2σ) ≈ 0.954
P(|X - μ| ≤ σ) ≈ 0.682
含义： 对于近似服从正态分布的随机变量，其距离期望值不会超过 3 倍标准差的概率约为 0.997。
应用：
切比雪夫不等式和三西格玛规则广泛应用于概率论和统计学中，例如：
估计随机变量的尾部概率： 当随机变量的分布未知时，可以使用切比雪夫不等式来给出其尾部概率的估计。
检验假设： 三西格玛规则可以用作检验假设的基准。如果一个样本的均值与假设的均值相差大于 3 倍标准差，则假设很可能不成立。
拓展：
中心极限定理：
中心极限定理是概率论中另一个重要的极限，它说明在一定条件下，来自任意分布总体的大量独立样本的平均值分布将近似于正态分布。中心极限定理与三西格玛规则密切相关，因为三西格玛规则对于近似服从正态分布的随机变量有效。
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