三角函数是数学中非常重要的概念，它连接了角度和边长之间的关系。其中一个基本函数就是正切函数，通常简写为 "tan"。在解决各种科学和工程问题时，理解如何计算特定角度的正切值至关重要。在这篇文章中，我们将深入探讨如何推导出 15 度角的正切值。
为了计算 tan15°，我们可以利用已知的三角恒等式和一些几何关系。以下是一种常用的推导方法：
1. 从一个等边三角形开始: 画一个边长为 2 的等边三角形 ABC。
2. 作垂线: 从顶点 A 向底边 BC 作垂线，垂足为 D。由于 ABC 是等边三角形，AD 也是角 A 的角平分线，将 ∠BAC 平分成两个 30° 的角。
3. 分析直角三角形: 现在我们得到了两个全等的直角三角形，例如 ABD。在这个三角形中，∠BAD = 30°，∠ABD = 60°，BD = 1（因为 AD 是 BC 的中线）。
4. 利用三角函数的定义: 根据三角函数的定义，我们知道：
tan 30° = BD / AD = 1 / AD
我们可以利用勾股定理求解 AD 的长度：AD² = AB² - BD² = 2² - 1² = 3，所以 AD = √3。
因此，tan 30° = 1 / √3。
5. 利用差角公式: 正切函数的差角公式为：tan (α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β)
6. 代入角度: 为了计算 tan 15°，我们可以将 α = 45°，β = 30° 代入差角公式：
tan 15° = tan (45° - 30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°)
7. 代入已知值: 我们知道 tan 45° = 1，tan 30° = 1 / √3。将这些值代入上式，得到：
tan 15° = (1 - 1 / √3) / (1 + 1 1 / √3)
8. 化简: 对上述表达式进行化简，最终得到：
tan 15° = 2 - √3
拓展：三角函数在现实生活中的应用
除了在数学领域，三角函数还在许多现实生活中发挥着至关重要的作用。例如，在建筑学中，工程师利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离，确保结构的稳定性和安全性。在地图测绘中，三角函数用于确定地理位置、测量距离和绘制地形图。此外，在物理学、工程学、计算机图形学等领域，三角函数都是不可或缺的数学工具。
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