椭圆概述
椭圆是一种曲线，是平面上到两个定点（焦点）的距离之和恒为常数的所有点的轨迹。它以其对称性和流畅性而闻名，在数学、物理和其他科学领域都有广泛应用。
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程为：
```
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
```
其中：
`a` 是椭圆长轴的一半长度
`b` 是椭圆短轴的一半长度
椭圆的性质
对称性： 椭圆关于其长轴和短轴对称。
焦点： 椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，距离中心（0,0）的距离为 `c`，其中 `c² = a² - b²`。
离心率： 椭圆的离心率定义为 `e = c/a`，它描述了椭圆偏离圆的程度。
焦半径： 从一个焦点到椭圆上任一点的线段长度为 `r₁ = a + ex`，从另一个焦点到同一点的线段长度为 `r₂ = a - ex`。
椭圆的方程推导
椭圆标准方程可以从椭圆的定义推导出来。假设焦点位于 `(±c, 0)`，则从任意一点 `(x, y)` 到两个焦点的距离之和为：
```
r₁ + r₂ = 2a
```
平方后整理得到：
```
(x + c)²/a² + (y)²/b² = 1
(x - c)²/a² + (y)²/b² = 1
```
两式相加即可得到标准方程。
椭圆的应用
椭圆在以下领域有着广泛的应用：
行星轨道： 行星绕着太阳运动的轨道是椭圆形的。
声波： 声波在均质介质中传播时形成圆形波前，而反射后形成椭圆形波前。
建筑： 拱门和穹顶等建筑结构使用椭圆形，因为它可以有效地分散重量。
医学： CT扫描仪和超声波设备使用椭圆形来聚焦射线和声波。
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