牛顿二项公式
牛顿二项公式，也称为二项式定理，是一个数学公式，用于展开（a+b）的任意次幂。它由英国数学家和物理学家艾萨克·牛顿于 17 世纪首次提出。
公式
对于正整数 n，牛顿二项公式如下：
```
(a + b)^n = ∑(k=0 to n) (n choose k) a^(n-k) b^k
```
其中：
(n choose k) 是二项式系数，由公式 (n!)/(k!(n-k)!) 计算。
a 和 b 是要展开的二项式中的变量。
展开多项式
使用牛顿二项公式，我们可以展开多项式到任何次幂。例如，展开（a + b）的平方：
```
(a + b)^2 = ∑(k=0 to 2) (2 choose k) a^(2-k) b^k
= (2 choose 0) a^2 + (2 choose 1) a^1 b^1 + (2 choose 2) a^0 b^2
= a^2 + 2ab + b^2
```
应用
牛顿二项公式在数学和科学的各个领域都有广泛的应用，包括：
微积分： 作为泰勒级数展开的起点。
概率： 推导二项分布公式。
物理： 近似展开、曲率计算等。
计算机科学： 设计算法和数据结构。
二项分布
牛顿二项公式还可以用于推导二项分布公式。二项分布描述了重复 n 次独立试验中成功 k 次的概率。其公式为：
```
P(X = k) = (n choose k) p^k (1-p)^(n-k)
```
其中：
P(X = k) 是成功 k 次的概率。
p 是每次试验成功的概率。
n 是试验的总次数。
结论
牛顿二项公式是一个强大的数学工具，在展开多项式、推导概率分布和解决各种数学和科学问题方面具有广泛的应用。它反映了数学在解决现实世界问题中的力量和优雅。
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