《x分之一求导》——揭开导数的奥秘

x分之一求导

设函数 f(x) = 1/x，其中 x ≠ 0，则 f(x) 的导数 f'(x) 的计算规则为 f'(x) = -1/x^2。

证明：

使用导数的定义：

f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h

将 f(x) = 1/x 代入：

f'(x) = lim(h->0) [(1/(x+h)) - (1/x)]/h

分子化简：

f'(x) = lim(h->0) [x - (x+h)]/(xh(x+h))

进一步化简：

f'(x) = lim(h->0) (-h)/(xh(x+h))

约分：

f'(x) = lim(h->0) -1/(x(x+h))

当 h 趋于 0 时，(x+h) 趋于 x，因此：

f'(x) = -1/x^2

拓展：

求复合函数的导数

如果复合函数 g(x) = f(h(x))，其中 f(x) 和 h(x) 都可导，则 g(x) 的导数 g'(x) 为：

g'(x) = f'(h(x)) h'(x)

例如，设 g(x) = (1/x)^2，则：

g'(x) = 2 (1/x) (-1/x^2) = -2/x^3

上面的公式表明，求复合函数导数时，需要将外层函数的导数与内层函数的导数相乘。