在高中数学的学习过程中，函数一直是重难点之一，而求函数值域更是让很多同学头疼不已。面对复杂多变的函数表达式，常常感到无从下手。今天，就来介绍一种简单实用的方法——利用一元二次方程的判别式来确定函数的值域。
一、 适用范围
这种方法主要适用于以下两种类型的函数：
1. 分式函数 ： 形如 y = (ax² + bx + c) / (dx² + ex + f) 的函数，其中分子或分母中至少有一个是二次函数。
2. 抽象函数 ： 形如 y = f(g(x)) 的复合函数，其中内层函数 g(x) 可以通过变形转化为一元二次方程的形式。
二、 方法详解
1. 转化为方程 ：将函数表达式中的 y 看作常数，将函数式转化为关于 x 的方程。
2. 利用判别式 ：由于 x 是实数，所以转化后的方程要有实数根，即判别式 Δ ≥ 0。
3. 解不等式 ：解出判别式不等式 Δ ≥ 0，即可得到函数 y 的取值范围，即函数的值域。
三、 例题讲解
为了帮助大家更好地理解和掌握这种方法，下面我们来看几个具体的例子：
例1：求函数 y = (x² + 2x + 3) / (x² + 1) 的值域。
解：将 y 看作常数，将函数式转化为关于 x 的方程：
(y - 1)x² - 2x + (y - 3) = 0
由于 x 是实数，所以方程要有实数根，即判别式 Δ ≥ 0：
Δ = (-2)² - 4(y - 1)(y - 3) ≥ 0
化简得：-4y² + 16y - 8 ≥ 0，即 y² - 4y + 2 ≤ 0
解不等式得：2 - √2 ≤ y ≤ 2 + √2
所以，函数的值域为 [2 - √2 , 2 + √2]。
例2：已知函数 y = f(x) 的定义域为 R，且对于任意实数 x，都有 f(x) ≥ x² - 2x + 3，求函数 y = 1 / (f(x) - 1) 的值域。
解：由题意可知，f(x) - 1 ≥ x² - 2x + 2 = (x - 1)² + 1 > 0
令 t = f(x) - 1，则 t > 0，原函数可以转化为 y = 1 / t
由于 t > 0，所以 y > 0
因此，函数 y = 1 / (f(x) - 1) 的值域为 (0, +∞)。
四、 拓展延伸
除了利用判别式，我们还可以结合其他方法来求解函数的值域，例如：
单调性法 : 对于单调函数，可以通过求函数的单调区间和极值来确定函数的值域。
数形结合法 : 对于一些函数，可以通过绘制函数图像，直观地观察函数的值域。
在实际解题过程中，我们需要根据函数的具体形式和特点，灵活选择合适的方法，才能快速准确地求解函数的值域。
总而言之，掌握利用判别式法求解函数值域，对于提高我们解决函数问题的能力具有重要意义。希望同学们能够通过学习和练习，熟练掌握这种方法，并在考试中取得优异的成绩！
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