2020年江西成考文科数学考试知识点:求解函数详解式

求解函数详解式是高考考试重点考查内容之一,需引起看重.本节主要帮考生在深刻理解函数概念的基础上,学会求函数详解式的几种办法,并形成能力,并培养考生的革新能力和解决实质问题的能力。

●难题磁场

(★★★★)已知f(2-cosplayx)=cosplay2x+cosplayx,求f(x-1).

●案例探究

[例1](1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式.

(2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式.

命题意图:本题主要考查函数定义中的三要点:概念域、值域和对应法则,与计算能力和综合运用常识的能力.属★★★★题目.

常识依托:借助函数基本常识,尤其是对“f”的理解,用好等价转化,注意概念域.

错解解析:本题对思维能力需要较高,对概念域的考查、等价转化易出错.

方法与办法:(1)用换元法;(2)用待定系数法.

解:(1)令t=logax(a1,t0;0

因此f(t)= (at-a-t)

∴f(x)= (ax-a-x)(a1,x0;0

(2)由f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,f(0)=c

得 并且f(1)、f(-1)、f(0)不可以同时等于1或-1,所以所求函数为:f(x)=2×2-1或f(x)=-2×2+1或f(x)=-x2-x+1或f(x)=x2-x-1或f(x)=-x2+x+1或f(x)=x2+x-1.

[例2]设f(x)为概念在R上的偶函数,当x≤-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象.

命题意图:本题主要考查函数基本常识、抛物线、射线的基本定义及其图象的作法,对分段函数的解析需要较强的思维能力.因此,分段函数是今后高考考试的热门题型.属★★★★题目. 常识依托:函数的奇偶性是桥梁,分类讨论是重要,待定系数求出曲线方程是主线.

错解解析:本题对思维能力需要非常高,分类讨论、综合运用常识易发生混乱.

方法与办法:合理进行分类,并运用待定系数法求函数表达式.

解:(1)当x≤-1时,设f(x)=x+b

∵射线过点(-2,0).∴0=-2+b即b=2,∴f(x)=x+2.

(2)当-1

∵抛物线过点(-1,1),∴1=a·(-1)2+2,即a=-1

∴f(x)=-x2+2.

(3)当x≥1时,f(x)=-x+2

综上可知:f(x)= 作图由读者来完成.

●锦囊妙计

本难题所涉及的问题及解决办法主要有:

1.待定系数法,假如已知函数详解式的架构时,用待定系数法;

2.换元法或配凑法,已知复合函数f[g(x)]的表达式可用换元法,当表达式较容易时也可用配凑法;

3.消参法,若已知抽象的函数表达式,则用解方程组消参的办法求解f(x);

另外,在解题过程中常常用到分类讨论、等价转化等数学思想办法.

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