一次函数的性质

哈喽，各位小伙伴们！今天咱们来好好聊聊数学里的一个老朋友——一次函数！别一听“函数”俩字就头大，其实它简单得很，而且在生活中应用超级广泛。咱们这次不光要搞清楚一次函数的长相，更要彻底掌握它的各种“性格特点”，也就是它的性质！

一、啥是“一次函数”？先来认认脸！

简单来说，一次函数就是长成这个样子的：

`y=kx+b`

其中，`x`是自变量（就是你可以随便给它赋值的那个），`y`是因变量（它的值会随着`x`的变化而变化），`k`和`b`都是常数，它们决定了这条直线的“脾气秉性”。

`k`：斜率！斜率！斜率！重要的事情说三遍！它决定了直线倾斜的程度和方向。想象一下你爬山，斜率大的山坡肯定更陡峭嘛！`k`是正的，直线就往右上翘；`k`是负的，直线就往右下斜；`k`是0，那这条直线就彻底躺平，变成一条水平线了（也就是常函数）。

`b`：y轴截距！就是这条直线和y轴相交的地方的纵坐标。你可以把它想象成这条直线在y轴上的“落脚点”。

举个栗子：

`y=2x+3`

这条直线，斜率`k=2`，说明它是往右上翘的，而且比较陡峭；y轴截距`b=3`，说明它和y轴相交于点(0,3)。

二、一次函数的性质，这才是重点！

好啦，认清楚脸了，接下来咱们就要深入了解一次函数的各种“性格特点”了！

1.图像：一条直线走天下！

一次函数最显著的特点就是它的图像是一条直线。这条直线要么倾斜着，要么水平着，总之就是一条直溜溜的线。

两点确定一条直线：只要知道直线上的两个点，就能完全确定这条直线。这意味着，只要给你两个点的坐标，你就能算出这条一次函数的表达式！这个超级重要，考试必考！

2.单调性：要么上升，要么下降！

单调性就是指函数值随着自变量增大而增大还是减小。一次函数的单调性完全由斜率`k`说了算！

当`k>0`时，函数是递增的。也就是说，`x`越大，`y`也越大。这条直线是往右上翘的，像一座正在上升的山峰。

当`k<0`时，函数是递减的。也就是说，`x`越大，`y`反而越小。这条直线是往右下斜的，像一座正在下滑的山坡。

当`k=0`时，函数是常函数。也就是说，`y`的值始终不变，不管`x`怎么变。这条直线就是一条水平线，稳稳当当的。

3.与坐标轴的交点：找到关键位置！

与y轴的交点：上面已经说过了，就是(0,`b`)，直接看`b`的值就行。

与x轴的交点：这个稍微复杂一点，需要让`y=0`，然后解方程`kx+b=0`，得到`x=-b/k`。所以，与x轴的交点坐标是(-`b/k`,0)。这个交点也叫作函数的“零点”，因为在这里函数值等于0。

4.平行与垂直：直线间的爱恨情仇！

平行：两条直线平行，意味着它们的斜率相等，也就是`k1=k2`。但要注意，y轴截距必须不同，否则两条直线就重合了。

垂直：两条直线垂直，意味着它们的斜率乘积等于-1，也就是`k1k2=-1`。这个关系非常重要，经常用来判断两条直线是否垂直。

三、一次函数的应用：生活处处有数学！

一次函数可不是只能在数学书上看到，它在生活中简直无处不在！

出租车计费：起步价加上每公里单价，就是一个典型的一次函数。

水费计算：基本水费加上超出部分的价格，也是一次函数。

物理学中的匀速直线运动：位移随时间的变化关系，也是一次函数。

股票走势：虽然股票走势非常复杂，但在短期内，也可以用一次函数来近似描述。

举个栗子：

某出租车起步价10元，超出3公里后每公里2元。那么，乘坐`x`公里（`x>3`）的出租车费用`y`就可以表示为：

`y=2(x-3)+10=2x+4`

这就是一个一次函数，斜率是2，y轴截距是4。

四、总结一下，划重点！

一次函数的表达式：`y=kx+b`

`k`：斜率，决定直线的倾斜程度和方向，以及函数的单调性。

`b`：y轴截距，决定直线与y轴的交点。

图像：一条直线！

两点确定一条直线！

平行：`k1=k2`

垂直：`k1k2=-1`

掌握了这些性质，一次函数在你面前就再也没有秘密啦！希望这篇文章能帮助你彻底搞懂一次函数，在考试中取得好成绩！加油！