嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个数学里超级有用的概念——两个向量相乘。可能你听到“向量”就觉得有点头大，但别怕，其实向量相乘并没有想象中那么难。我会用最简单、最接地气的方式，带你彻底搞懂它！
什么是向量？先来个热身！
咱们先简单回顾一下向量。你可以把它想象成一个带方向的箭头，它有两个重要的属性：长度（模）和方向。比如，你在地图上导航，起点到终点画一条线，这条线就可以看作一个向量。
两个向量相乘：不只一种！
重点来了！两个向量相乘，可不是像数字相乘那样，直接乘起来就完事儿。这里面有两种主要的乘法：点积（数量积）和叉积（向量积）。
注意了！虽然都叫乘法，但是它们的结果完全不同，而且用途也大相径庭！
1.点积（数量积）：化身数字的魔法
点积，顾名思义，结果是个数字，而不是向量！它的符号是`·`，读作“点”。
公式：`a·b=|a||b|cosθ`
其中：
`a`和`b`是两个向量
`|a|`和`|b|`分别是向量`a`和`b`的模（长度）
`θ`是向量`a`和`b`之间的夹角
通俗解释：点积衡量的是两个向量在彼此方向上的投影的程度。想象一下，用一束光垂直照射到向量`a`上，`b`在`a`上留下的影子有多长？长度越长，点积就越大，说明两个向量的方向越接近。
计算方法（坐标形式）：如果向量`a=(x1,y1)`，`b=(x2,y2)`，那么`a·b=x1x2+y1y2`
举个例子：
假设`a=(3,4)`，`b=(5,12)`
那么`a·b=(35)+(412)=15+48=63`
点积的应用：
判断向量是否垂直：如果`a·b=0`，那么向量`a`和`b`垂直。这是个超实用的技巧！
计算向量的夹角：可以利用点积公式反过来求夹角`θ=arccos((a·b)/(|a||b|))`
计算向量在另一个向量上的投影：比如，已知`a`和`b`，求`b`在`a`上的投影长度，就可以用`(a·b)/|a|`
记住！点积的结果是标量，就是个数字！
2.叉积（向量积）：变出一个垂直的新向量
叉积的结果是一个新的向量！而且，这个新向量垂直于原来的两个向量所在的平面。叉积的符号是`×`，读作“叉”。
公式：`a×b=|a||b|sinθn`
其中：
`a`和`b`是两个向量
`|a|`和`|b|`分别是向量`a`和`b`的模（长度）
`θ`是向量`a`和`b`之间的夹角
`n`是一个单位向量，垂直于`a`和`b`所在的平面，方向由右手螺旋法则决定(后面详细解释)
通俗解释：叉积的大小表示由向量`a`和`b`构成的平行四边形的面积。叉积的方向则垂直于这个平行四边形所在的平面，指向哪里，就需要用到右手螺旋法则了。
右手螺旋法则（重要！）：
伸出你的右手，四指指向向量`a`的方向，弯曲四指朝向向量`b`的方向，那么你的大拇指指向的方向就是`a×b`的方向。
计算方法（坐标形式，仅限于三维向量）：
如果`a=(x1,y1,z1)`，`b=(x2,y2,z2)`，那么
`a×b=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)`
（记住这个公式比较麻烦，可以用行列式来帮助记忆：
```
a×b=|ijk|
|x1y1z1|
|x2y2z2|
```
其中i,j,k分别是x,y,z轴的单位向量。展开这个行列式就得到上面的公式了)
举个例子：
假设`a=(1,2,3)`，`b=(4,5,6)`
那么`a×b=(26-35,34-16,15-24)=(-3,6,-3)`
叉积的应用：
判断向量是否平行：如果`a×b=0`（零向量），那么向量`a`和`b`平行。
计算平行四边形的面积：由向量`a`和`b`构成的平行四边形的面积就是`|a×b|`
计算垂直于两个向量的向量：叉积的结果本身就是一个垂直于`a`和`b`的向量。
计算机图形学：在3D图形渲染中，叉积常用于计算法向量，确定光照效果。
物理学：在力学中，力矩可以用叉积来表示。
记住！叉积的结果是向量，而且垂直于原来的两个向量！
总结一下
|特性|点积(数量积)|叉积(向量积)|
|-----------|---------------|---------------|
|符号|`·`|`×`|
|结果|标量(数字)|向量|
|方向|无|垂直于原向量平面|
|应用|夹角、垂直判断|面积、法向量|
常见问题
二维向量能做叉积吗？严格来说，二维向量的叉积结果仍然是一个向量，但是这个向量的方向是垂直于二维平面，指向z轴正方向或者负方向。通常为了简化，我们只关注其大小，也就是`|a||b|sinθ`，它表示由这两个二维向量构成的平行四边形的面积。
叉积满足交换律吗？不满足！`a×b=-(b×a)`。注意正负号！
结束语
希望通过这篇文章，你对两个向量相乘有了更清晰的理解。记住，点积和叉积是两个不同的概念，它们的结果、用途也截然不同。多做练习，你会发现向量相乘其实挺有趣的！下次见！
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