等比数列的性质：探索数列中隐藏的规律

等比数列

等比数列是指相邻两项的比值相等的数列。数列中任意一项都可以表示为首项乘以公比的幂次方。公比是一个常数，表示每项 نسبت إلى سابقه.

等比数列的性质

等比数列具有以下性质：

首项乘以公比的幂次方（即通项公式）： a _n = a ₁ ⋅r ^n-1

前n项和： S _n = a ₁ ⋅(1 - r ⁿ ) / (1 - r)（r ≠ 1）

无穷等比数列的和： S = a ₁ / (1 - r)（|r| < 1）

第n项与第m项的比： a _n / a _m = r ^n-m

应用

等比数列在现实生活中有着广泛的应用，例如：

人口增长率： 自变量为时间， dependent variable 人口的数量，并假设增长率是一个常数

复利计算： 本金以一个固定的利率按期计算利息

放射性物质衰变： 自变量为时间， dependent variable放射性物质的质量，并假设衰变率是一个常数

拓展：求和公式的推导

前n项和的求和公式可以通过数学归纳法推导。假设公式对于n成立，即：

S _n = a ₁ ⋅(1 - r ⁿ ) / (1 - r)

当n+1时：

S _n+1 = S _n + a _n+1

= a ₁ ⋅(1 - r ⁿ ) / (1 - r) + a ₁ ⋅r ⁿ

= a ₁ ⋅(1 - r ⁿ⁺¹ ) / (1 - r)

因此，公式对于n+1也成立。故对于所有n成立。