在数学的世界里，向量如同指引方向的箭头，它们拥有大小和方向，并为我们理解空间中的几何关系提供了一种便捷的工具。当两个向量相互垂直时，它们之间存在着一种特殊的几何关系，这种关系可以用一个简洁的公式来表达，即平面向量垂直公式。
平面向量垂直公式：
两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$垂直的充要条件是它们的内积为零，即：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
内积的定义：
向量内积的定义是：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos \theta$
其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模长，$\theta$表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角。
当两个向量垂直时，它们的夹角为90度，因此$cos \theta = 0$，根据内积的定义，它们的内积也为零。反之，如果两个向量的内积为零，则它们的夹角为90度，即它们相互垂直。
平面向量垂直公式的应用：
平面向量垂直公式在几何和物理学中有着广泛的应用。例如，我们可以利用它来判断两条直线是否垂直，判断一个点是否在一条直线上，以及计算一个向量在另一个向量上的投影等。
例如：
已知两个向量$\vec{a} = (2, 1)$和$\vec{b} = (-1, 2)$，判断这两个向量是否垂直。
根据平面向量垂直公式，我们只需要计算它们的内积：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, 1) \cdot (-1, 2) = 2 \times (-1) + 1 \times 2 = 0$
由于它们的内积为零，因此这两个向量相互垂直。
拓展：
除了判断向量是否垂直，平面向量垂直公式还可以用来解决许多其他几何问题，例如：
求解直线方程： 我们可以利用垂直向量来求解与已知直线垂直的直线方程。
计算面积： 我们可以利用垂直向量来计算三角形的面积，以及平行四边形的面积。
寻找投影： 我们可以利用垂直向量来寻找一个向量在另一个向量上的投影。
总而言之，平面向量垂直公式是理解向量几何关系的重要工具，它在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
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