在微积分的世界里，导数就像一把万能钥匙，帮助我们理解函数的变化率。而对于形如√x的函数，其导数的求解更是基础中的基础，是打开许多数学难题大门的必经之路。
那么，√x的导数究竟是什么呢？让我们从最基本的定义出发。导数本质上描述了函数在某一点切线的斜率。对于函数y = √x，我们可以利用导数的定义式，一步步推导出其导数表达式：
首先，我们需要计算函数在x处的增量Δy与自变量增量Δx的比值：
```
Δy/Δx = (√(x+Δx) - √x) / Δx
```
为了简化这个表达式，我们可以利用一个常见的数学技巧：分子分母同时乘以(√(x+Δx) + √x)：
```
Δy/Δx = [(√(x+Δx) - √x)(√(x+Δx) + √x)] / [Δx(√(x+Δx) + √x)]
= [(x + Δx) - x] / [Δx(√(x+Δx) + √x)]
= 1 / (√(x+Δx) + √x)
```
接下来，我们让Δx趋近于0，此时Δy/Δx就无限逼近函数在x处的导数：
```
lim(Δx→0) Δy/Δx = lim(Δx→0) 1 / (√(x+Δx) + √x) = 1 / (2√x)
```
由此，我们得到了√x的导数表达式：
```
y' = (√x)' = 1 / (2√x)
```
这个简洁的公式揭示了√x的变化率与其自身大小之间的关系：√x越大，其变化率越小。
掌握了√x的导数，我们就可以解决许多实际问题。例如，在物理学中，我们可以利用它来计算物体做变加速运动时的瞬时速度；在经济学中，我们可以用它来分析边际成本的变化趋势。
拓展：链式法则与复合函数求导
√x的导数推导过程也为我们理解更复杂的复合函数求导提供了一个很好的例子。试想，如果我们要对形如√(ax+b)的函数求导，该如何处理呢？
这时就需要用到链式法则。链式法则告诉我们，对于复合函数y = f(u)，u = g(x)，其导数为：
```
dy/dx = dy/du du/dx
```
简单来说，就是将复合函数拆解成多个简单函数的嵌套，然后分别求导，最后将结果相乘。
回到√(ax+b)的例子，我们可以令u = ax+b，则y = √u。利用链式法则，我们可以得到：
```
dy/dx = dy/du du/dx = (1/(2√u)) a = a / (2√(ax+b))
```
由此可见，掌握了链式法则，我们就可以轻松应对各种形式的复合函数求导问题。
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