在几何和物理世界中，我们常常需要描述和计算物体的运动、力的作用以及空间关系。向量，作为一种既有大小又有方向的量，为我们提供了一种优雅而强大的工具。而要真正发挥向量的威力，掌握其坐标运算公式至关重要。
一、 向量的表示与坐标
想象一下，我们要描述一个点在平面上的位置，最直观的方式就是使用坐标系。同样地，对于一个向量，我们也可以用坐标来表示。
假设在一个二维平面直角坐标系中，向量 a 的起点为 A(x₁, y₁)，终点为 B(x₂, y₂)，则向量 a 的坐标表示为：
a = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
其中，(x₂ - x₁) 表示向量 a 在 x 轴上的投影，(y₂ - y₁) 表示向量 a 在 y 轴上的投影。
三维空间的向量坐标表示方法类似，只需增加一个 z 坐标即可。
二、 向量的坐标运算
掌握了向量的坐标表示，我们就可以方便地进行各种运算了。
1. 向量加法
设有两个向量 a = (a₁, a₂)， b = (b₁, b₂)，则它们的和向量 c = a + b 的坐标为：
c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
也就是说，两个向量的和向量的坐标等于它们对应坐标的和。
2. 向量减法
设有两个向量 a = (a₁, a₂)， b = (b₁, b₂)，则它们的差向量 c = a - b 的坐标为：
c = (a₁ - b₁, a₂ - b₂)
同样地，两个向量的差向量的坐标等于它们对应坐标的差。
3. 数乘向量
设有一个向量 a = (a₁, a₂)，一个实数 k，则 k a 的坐标为：
k a = (ka₁, ka₂)
也就是说，将一个向量乘以一个实数，相当于将该向量的每个坐标都乘以这个实数。
4. 向量模长
向量 a = (a₁, a₂) 的模长，也就是向量的长度，可以用如下公式计算：
| a | = √(a₁² + a₂²)
模长表示了向量的“大小”。
5. 向量夹角
两个非零向量 a = (a₁, a₂)， b = (b₁, b₂) 的夹角 θ 可以用如下公式计算：
cosθ = ( a · b ) / (| a | | b |)
其中， a · b 表示向量 a 和 b 的数量积 (或点积)，可以通过对应坐标相乘再相加得到：
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
三、 向量的坐标运算应用
向量的坐标运算在各个领域都有着广泛的应用。
物理学: 计算物体运动的速度、加速度、力的合成与分解等。
计算机图形学: 进行图形的平移、旋转、缩放等变换。
数据科学: 处理多维数据，例如计算文本相似度、图像识别等。
四、 从二维到高维：向量坐标的拓展
值得一提的是，向量坐标运算并不局限于二维平面，它可以很容易地推广到三维甚至更高维的空间。在高维空间中，向量坐标运算的公式形式保持不变，只是坐标的个数会增加。
例如，在三维空间中，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, a₃)，两个向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃) 的数量积为 a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
向量坐标运算为我们提供了一种简洁而强大的工具，让我们能够在不同的维度上描述和计算各种量之间的关系，在科学研究和工程应用中发挥着不可替代的作用。
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