你想快速掌握如何求 √x 的导数吗？这篇文章将为你详细介绍 √x 的求导公式推导过程，并通过典型例题帮助你深入理解其应用。
一、从导数的定义出发
要理解 √x 的求导，我们需要回顾一下导数的定义。函数 f(x) 在 x=a 处的导数 f'(a)，本质上是函数在该点处切线的斜率，可以通过以下极限式求得：
```
f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h
```
将 f(x) = √x 代入，得到：
```
f'(a) = lim (h→0) [√(a+h) - √a] / h
```
为了求解这个极限，我们需要对分子进行有理化处理，分子分母同时乘以 [√(a+h) + √a] ：
```
f'(a) = lim (h→0) [(√(a+h) - √a)(√(a+h) + √a)] / [h(√(a+h) + √a)]
```
化简可得：
```
f'(a) = lim (h→0) h / [h(√(a+h) + √a)] = lim (h→0) 1 / [√(a+h) + √a]
```
当 h 趋近于 0 时，极限值为：
```
f'(a) = 1 / (2√a)
```
因此，我们得到了 √x 的导数公式：
```
(√x)' = 1 / (2√x)
```
二、应用举例
掌握了 √x 的求导公式后，我们可以利用它解决更复杂的求导问题。
例题：求 y = x√x 的导数。
分析：这道题可以利用导数的乘法法则求解： (uv)' = u'v + uv'，其中 u = x，v = √x。
解题步骤：
1. 求 u' 和 v'：
- u' = 1
- v' = (√x)' = 1 / (2√x)
2. 应用乘法法则：
- y' = u'v + uv' = 1 √x + x (1 / (2√x)) = √x + 1/2 √x = 3/2 √x
因此，y = x√x 的导数为 y' = 3/2 √x。
三、拓展：复合函数求导
在实际应用中，我们还会遇到更复杂的函数，例如 y = √(x^2 + 1)。这类函数可以看作是由 y = √u 和 u = x^2 + 1 复合而成的。
对于复合函数求导，我们可以使用链式法则：
```
(dy/dx) = (dy/du) (du/dx)
```
以上述例子为例：
1. 令 u = x^2 + 1，则 y = √u
2. 求 dy/du 和 du/dx：
- dy/du = (√u)' = 1 / (2√u)
- du/dx = (x^2 + 1)' = 2x
3. 应用链式法则：
- dy/dx = (dy/du) (du/dx) = (1 / (2√u)) 2x = x / √u
4. 将 u = x^2 + 1 代回，得到最终结果：
- dy/dx = x / √(x^2 + 1)
通过以上例题，我们可以看到，掌握 √x 的求导公式以及链式法则，能够帮助我们轻松解决更复杂的复合函数求导问题。
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