2021年安徽成考《数学》复习重点：指数函数和对数函数
指数函数、对数函数是成考考查的重点内容之一，本节主要帮考生学会两种函数的定义、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实质问题.
●难题磁场
(★★★★★)设f(x)=log2 ,F(x)= +f(x).
(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性概念，给出证明;
(2)若f(x)的反函数为f-1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f-1(n) ;
(3)若F(x)的反函数F-1(x),证明：方程F-1(x)=0有惟一解.
●案例探究
[例1]已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上;
(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基本常识，考查学生的解析能力和运算能力.属★★★★级题目.
常识依托：(1)证明三点共线的办法：kOC=kOD.
(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只须得到方程(1)，即可求得A点坐标.
错解解析：不容易分析运用方程思想去解决实质问题.
方法与办法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x11,x21,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.由于A、B在过点O的直线上，所以 ,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),因为log2x1= = 3log8x2,所以OC的斜率：k1= ,
OD的斜率：k2= ，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1= log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,因为x11知log8x1≠0,∴x13=3×1.又x11,∴x1= ,则点A的坐标为( ，log8 ).
[例2]在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每一个自然数n点Pn坐落于函数y=2000( )x(0
(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式;
(2)若对于每一个自然数n,以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围;
(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由.
命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等要点揉合在一块，构成一个思维困难程度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合常识解析和运用的能力.属★★★★★级
题目.
常识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等常识.
错解解析：考生对综合常识不容易驾驭，思维困难程度较大，找不到解题的突破口.
方法与办法：本题是常识综合题，重要在于读题过程中对条件的考虑与认识，并会运用有关的要点去解决问题.
解：(1)由题意知：an=n+ ,∴bn=2000( ) .
(2)∵函数y=2000( )x(0bn+1bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1bn,即( )2+( )-10,解得a-5(1+ )或a5( -1).∴5( -1)
(3)∵5( -1)
∴bn=2000( ) .数列{bn}是一个递减的正数数列，对每一个自然数n≥2,Bn=bnBn-1.于是当bn≥1时，Bn
●锦囊妙计
本难题所涉及的问题与解决的办法有：
(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目需要考生熟练学会函数的图象和性质并能灵活应用.
(2)综合性题目.此类题目需要考生具备较强的解析能力和逻辑思维能力.
(3)应用题目.此类题目需要考生具备较强的建模能力.
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