你是否想过，像 √2 这样的数字究竟属于哪一类？它能被完美地表达成分数吗？这个问题看似简单，却困扰了古代的数学家们数百年，最终揭示了数学世界中一个全新的领域。
在数学中，我们把所有能表示为两个整数之比的数称为 有理数 ，例如 3/4、-5/2 或 7/1。然而，√2 却无法用这种方式表达。它是一个 无理数 ，意味着它无法写成有限小数或循环小数。
那么，我们是如何知道 √2 是无理数的呢？让我们用反证法来证明：
1. 假设 √2 是有理数。 那么它可以表示为两个整数 a 和 b 的比值，即 √2 = a/b，其中 a 和 b 互质（没有大于 1 的公约数）。
2. 将等式两边平方， 得到 2 = a²/b²。
3. 整理等式， 得到 a² = 2b²。
4. 从这个等式可以看出， a² 是偶数 （因为它等于 2 乘以另一个整数 b²）。
5. 如果 a² 是偶数，那么 a 本身也必须是偶数。
6. 既然 a 是偶数，我们可以把它表示为 2k，其中 k 是另一个整数。
7. 将 a = 2k 代入步骤 3 的等式， 得到 (2k)² = 2b²，化简后得到 4k² = 2b²，即 2k² = b²。
8. 现在我们发现 b² 也是偶数， 这意味着 b 本身也是偶数。
9. 但是，步骤 1 中我们假设 a 和 b 互质， 现在却发现它们都是偶数，这意味着它们有公约数 2，这与我们的假设矛盾。
因此，我们最初的假设 √2 是有理数是错误的，所以 √2 必须是无理数。
√2 是无理数的发现震惊了古希腊的数学家们，因为它挑战了他们对数字和几何的理解。这个发现引发了数学的重大进步，例如对无理数的深入研究以及数系的扩展。它也证明了数学推理的强大力量，以及即使是看似简单的概念也可能蕴含着深刻的奥秘。
拓展：
除了 √2，还有许多其他的无理数，例如圆周率 π 和自然对数的底数 e。这些无理数在数学、科学和工程等各个领域中都扮演着重要的角色。例如，π 是计算圆的周长、面积和体积的关键，而 e 则出现在微积分、概率论和复分析等领域。对无理数的理解和运用，极大地推动了人类文明的进步。
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