复合函数求偏导：剖析变换法则和链式法则
对于复合函数，求偏导需要遵循以下法则：
变换法则：
如果 g(x) 为 x 的可导函数，f(y) 为 y 的可导函数，则复合函数 h(x) = f(g(x)) 的偏导数为：
```
∂h(x)/∂x = f'(g(x)) g'(x)
```
链式法则：
如果 f(u,v) 为 u 和 v 的可导函数，g(x) 和 h(x) 为 x 的可导函数，则复合函数 ψ(x) = f(g(x), h(x)) 的偏导数为：
```
∂ψ(x)/∂x = f_u(g(x), h(x)) g'(x) + f_v(g(x), h(x)) h'(x)
```
其中，f_u 和 f_v 分别表示 f(u,v) 对 u 和 v 的偏导数。
复合函数求偏导的步骤：
1. 识别中间变量和最终变量。
2. 应用变换法则或链式法则。
3. 简化表达式，得到最终偏导数。
应用举例：
例 1： 求复合函数 h(x) = (2x + 1)^3 的偏导数。
解：
使用变换法则：
```
∂h(x)/∂x = 3(2x + 1)^2 2 = 6(2x + 1)^2
```
例 2： 求复合函数 ψ(x,y) = x^2 + y^3 的偏导数。
解：
使用链式法则：
```
∂ψ(x,y)/∂x = 2x
∂ψ(x,y)/∂y = 3y^2
```
扩展：复合函数在优化中的应用
复合函数求偏导在优化问题中至关重要。例如，在寻找函数 f(g(x)) 的极值问题时，需要使用复合函数求偏导来求出关键点和确定极值类型。通过了解变换法则和链式法则，我们可以有效解决涉及复合函数的优化问题。
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