在图形学、游戏开发以及计算机视觉等领域，判断两个矩形是否相交是一个非常基础且常见的需求。例如，在游戏中判断碰撞检测，在图像处理中判断目标重叠等等，都需要用到矩形相交的判定方法。
那么，如何高效地判断两个矩形是否相交呢？本文将介绍几种常用的算法，并分析它们的优缺点，帮助你选择最合适的方案。
1. 边界比较法
这是最直观、最容易理解的方法。它的核心思想是： 如果两个矩形不相交，那么它们在水平方向或垂直方向上一定没有重叠部分。
具体来说，假设有两个矩形 A 和 B，它们的左上角坐标分别为 (xA1, yA1) 和 (xB1, yB1)，右下角坐标分别为 (xA2, yA2) 和 (xB2, yB2)。那么，它们不相交的条件可以表示为：
在水平方向上没有重叠：xA2 < xB1 或 xB2 < xA1
在垂直方向上没有重叠：yA2 < yB1 或 yB2 < yA1
如果上述两个条件中至少有一个成立，则说明两个矩形不相交；反之，则说明它们相交。
边界比较法的优点是简单直观，易于理解和实现。但是，它需要进行多次比较运算，效率相对较低。
2. 投影法
投影法的思路是将两个矩形分别投影到 X 轴和 Y 轴上，然后判断投影线段是否相交。如果在两个轴上的投影都相交，则说明两个矩形相交；否则，则说明它们不相交。
具体来说，我们可以使用矩形的最小值和最大值来表示投影线段。例如，矩形 A 在 X 轴上的投影线段为 [xA1, xA2]，在 Y 轴上的投影线段为 [yA1, yA2]。
投影法的优点是代码实现相对简洁，且效率比边界比较法更高。
3. 分离轴定理
分离轴定理（Separating Axis Theorem，SAT）是一种更为通用的碰撞检测方法，它不仅适用于矩形，也适用于任意凸多边形。
分离轴定理的核心思想是： 如果两个凸多边形不相交，那么一定存在一条直线，可以将这两个多边形完全分开。 这条直线被称为“分离轴”。
对于两个矩形而言，我们可以选择它们的四条边所在的直线作为候选分离轴。然后，将两个矩形分别投影到这些直线上，判断投影线段是否相交。如果存在一条分离轴，使得两个矩形的投影线段不相交，则说明这两个矩形不相交；否则，则说明它们相交。
分离轴定理的优点是适用范围广，可以用于判断任意凸多边形的碰撞。但是，它的计算量相对较大，实现起来也比较复杂。
拓展：矩形相交面积的计算
在某些应用场景中，我们不仅需要判断两个矩形是否相交，还需要计算它们相交部分的面积。
如果两个矩形相交，我们可以通过计算相交矩形的长和宽来得到相交面积。具体来说，相交矩形的：
左上角坐标为：(max(xA1, xB1), max(yA1, yB1))
右下角坐标为：(min(xA2, xB2), min(yA2, yB2))
然后，我们可以根据相交矩形的坐标计算出它的长和宽，进而得到相交面积。
总之，判断矩形相交的方法有很多种，每种方法都有其优缺点。在实际应用中，我们需要根据具体的场景选择合适的算法。
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