什么是可导必连续？
可导必连续定理指出：如果一个函数在某一点可导，那么它在该点连续。换句话说，可导性意味着连续性。
证明
证明要点在于使用导数定义。设函数 f(x) 在点 a 处可导，则存在极限：
```
lim(h->0) [f(a + h) - f(a)] / h = f'(a)
```
现在，让我们检查函数 f(x) 在点 a 的连续性。对于任意 ε > 0，我们需要找到一个 δ > 0，使得当 |x - a| < δ 时，|f(x) - f(a)| < ε。
取 δ = ε / |f'(a)|。对于任意满足 |x - a| < δ 的 x，我们可以使用导数定义写出：
```
|f(x) - f(a)| = |f(a + (x - a)) - f(a)|
= |f'(a) (x - a) + ε'(x - a)|
<= |f'(a)| |x - a| + ε|x - a|
< ε |f'(a)| + ε|x - a|
< ε (|f'(a)| + 1)
```
由于 |f'(a)| 和 ε 是常数，因此 |f'(a)| + 1 也是常数。所以，存在一个 δ > 0，使得当 |x - a| < δ 时，|f(x) - f(a)| < ε。这证明了 f(x) 在点 a 处连续。
可导必连续的意义
可导必连续定理对于数学分析至关重要，因为它建立了连续性和可导性之间的联系。它允许我们使用导数来表征函数的连续性，反之亦然。
其他相关定理
除了可导必连续定理之外，还有其他与连续性和可导性相关的基本定理：
连续必有界定理：如果一个函数在闭区间上连续，那么它有界。
魏尔斯特拉斯定理：如果一个函数在闭区间上连续，那么它可以被连续函数一致逼近。
罗尔定理：如果一个函数在闭区间上连续且可导，并且在端点处取相同的值，那么它在区间内至少存在一个点，其导数为 0。
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