引言
自古以来，圆的面积一直是数学研究的热点话题。如何精确计算圆的面积，困扰了无数学者。本文将通过巧妙的几何推理，一步步推导圆的面积公式，揭开圆周之谜。
几何图形分解
首先，将圆视为由无数个扇形组成的。设圆的半径为 r，则每个扇形的中垂线与圆心连线所成的角为 θ。
相似三角形原理
根据相似三角形原理，每个扇形的弧长与中垂线之间的比例等于 θ 与 2π 的比例。即：
弧长 / 中垂线 = θ / 2π
弧长与中垂线的关系
进一步，设每个扇形的弧长为 s，中垂线为 h。根据圆的定义，s = rθ。同时，h = r sin(θ/2)。
扇形面积公式
将 s 和 h 代入扇形面积公式，可得：
扇形面积 = (1/2) s h = (1/2) rθ r sin(θ/2)
圆的面积公式推导
由于圆由无数个扇形组成，因此圆的面积等于所有扇形面积之和。即：
圆的面积 = lim(θ→0) Σ[(1/2) rθ r sin(θ/2)]
经过积分运算，得到圆的面积公式：
A = πr²
拓展：π 的逼近
圆的面积公式中包含了数学常数 π，如何准确计算 π 也是一个难题。历代数学家提出了各种逼近方法，如阿基米德的方法和刘徽割圆术。现代计算技术的发展，使得我们能够通过计算机程序计算 π 的小数点后数百万位。
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